《二态系统的量子力学》（3）

 

 

 

一旦你跨过了某一个边界――迄今为止我们也不知道那个边界在哪，但是一旦你跨过了某一个边界――我们就发现这事情就不一样了，你就不能继续用这样一套描述问题的方法了。这个就是量子力学神奇的地方。为了搞清楚它你需要问的问题是，到底跨过以后变成什么样了。第二是那个边界到底在哪？我在什么地方跨过去了？你甚至还可以问为什么跨过那个地方，它真的就成了这样了？

 

 

那我们知道了，物理学是研究物体或者物质的组成和运动的。那么如果是运动，我们就发现有几个非常关键的问题，需要我们来回答。第一个问题是这个运动的状态怎么描述？第二个问题是它的状态是否会发生变化，如果发生变化的话，变化的原因是什么？这样一个问问题的框架就叫做力学的世界观。

 

那么在经典力学里头，这样的问题是比较容易回答的。那比如说当我们去描述一个汽车它的运动的时候，我们通常需要什么呢？这个汽车在每一个时刻的位置，以及汽车在那个位置它运动的速度。当然还包含这个汽车的重量，物理学上叫质量。而在经典力学的范围内，大多数时候我们假设它的一个物体的质量是不变的。于是我们需要关注的东西就是两个量，一个是速度，一个是位置。

 

那么速度这样一个东西，由于将来和量子力学需要去对比的时候，大家把它乘上它的质量，那个合起来的东西叫动量。也就是说，我们什么是对一个物体的运动状态的描述呢？就是指它的这一对变量，这对变量是位置和动量。下面就问变化的原因是什么。

 

那经典力学告诉你说变化的原因是因为你受到了别的东西对你的作用。也就是说，一个物体它的运动状态发生变化的话，它可能是受内部的各个组成部分之间的相互作用的效果，也可能是受外部的某一个其他东西对它的驱动。比如说如果是一个汽车的话，所谓的内部，那当把汽车看成一个整体的时候，发动机就是属于内部的驱动的带来的变化；那么还有外部的比如说，你行驶在一个非常好的马路上和行驶在一个非常粗糙的马路上，你所耗费的油量，你所要付出的能量是不一样的，会不同的程度影响你的运动状态。这个就是外部的影响因素。

 

那么从经典力学的角度来说，你需要某一个量来描述这个内部的东西的相互联系、相互影响、相互作用，以及外部东西对你的相互作用，那么这个描述的东西经典力学里头叫什么呢？它叫哈密顿量。那么这个时候你就发现，整个对于前面两个运动的状态改变的原因是什么呢？答案就是运动的状态是位置和动量这一对变量来描述。它发生变化的原因是由这个叫做哈密顿量的东西。它代表了系统内部的单元之间的相互作用，以及外部对这个系统的相互作用的这么一个东西，决定了它将来运动状态怎么发生变化。

 

那么有了这么一套经典力学体系之后，我们就希望随着我们前面说的分解的思想的应用，我们可以把这样一套描述问题的体系一直往下用。也就是说没准我们的哈密顿量在不同的层次写出来是不一样的，没准我们所谓的对象在不同的层次写出来也是不一样的。比如说整体你可以把汽车当汽车，但是一旦你要研究汽车哪个地方坏了，你需要怎么办？把汽车看成各个它的组成部分。

 

那你接着再去看它的组成部分，所以你每次的描述的变量都会随着你的分解的进行不一样。于是你写下来的这个叫做哈密顿量的东西也会不一样。可是你希望我前面所说的这套体系，也就是说我描述方法上还是用位置和动量这两个变量，我变化的原因上还是由哈密顿量决定。我忘了说了那个决定的方式叫哈密顿方程，或者叫牛顿方程。也就是说你如果写下哈密顿量，那么你就有一个方程会告诉你写下来的东西(如何)去影响那个位置和动量这两个值。就是一个时刻的这两个值，怎么随着你写下来的这个哈密顿量，变成下一个时刻其他的另外的两个值。

 

那么对于一个更加一般的问题，有可能我们有一些不确定的因素。比如说这就是所谓的一个盒子里的理想气体的模型，在这个时候你很难知道它们的初始速度和初始位置，到底每一个在什么地方，那么面对这样的问题我们怎么办呢？那有一套就是原则上还是用位置和动量来描述。但是实际上有效理论就是，你不再是直接写下来每一个物体的X和P，而是去看一个它在X和P构成的空间上的分布函数。那么你用这样一套观点来描述问题的时候，很多时候对于这种带有不确定性的，或者是未知的条件的问题更容易描述。

 

所谓分布函数也就是说我们想知道在这个盒子的气体里头，在每一个时刻它什么地方聚成了一团。当然这个盒子它有动量空间，如果动量空间聚成一团的话，它的意思是指大家在空间当中整体的运动的速度和方向都差不多。那么你一旦有了这样一个位置和动量空间的分布函数，你下面就会有一个类似于分布函数的演化方程。这个演化方程也是和前面所说的由牛顿方程或者哈密顿量方程推导出来的，跟它完全等价的。

 

那么我们希望这样一套方程或者这样一套描述体系都是不变的。可是先把这样一个叫做，比如说梦想也好，先放在脑子里。也就是说，我们认为所谓的力学就是这样一套描述体系。而且我们希望它在不同的层次，这个描述的体系是不变，变的只是描述的变量，变量的值，以及写下来的函数的具体形式。

 

可是一会儿我们会看见，一旦你跨过了某一个边界――迄今为止我们也不知道那个边界在哪，但是一旦你跨过了某一个边界――我们就发现这事情就不一样了，你就不能继续用这样一套描述问题的方法了。这个就是量子力学神奇的地方。你为了搞清楚这样一个神奇的地方，你需要问的问题是，到底跨过以后变成什么样了，这是你要知道的事情。第二是那个边界到底在哪？我在什么地方跨过去了？你甚至还可以问为什么跨过那个地方，它真的就成了这样了？那这几个问题有一些我们能够回答，有一些我们迄今还不能回答。

 

我们说力学关心的问题是，状态是什么以及状态变化的原因，这个原因怎么描述的问题。我们已经说了，它们分别是位置和动量这样一组变量，以及一个叫做牛顿方程或者哈密顿量方程的东西。那么为什么会用到这样一组方程呢？所谓的方程在动力学里头它其实描述的是什么事情呢？它描述的事情X（t＋１），P（t＋１），就是下一个时刻的位置和动量，和当前时刻X（t）和P（t）之间的联系。

 

所以这个方程它大概长什么样呢？它长得就这么写，比如说我先不说P了，只是用X这个变量。就是X（t＋１）它等于某一个F的函数，这个函数它偷偷藏着一个参数，这个参数叫哈密顿量。比如说我用一下哈密顿量的符号叫H，那么这个F的H它就会作用在这个X在t时刻，所以它这个函数长什么样呢？就是X（t＋１）等于F作用在X（t）上。而那个F它是整体的这个哈密顿量H的函数，这个就叫一个运动方程。

 

那为了解决这个连续的时间，而不是我刚才说的举个例子当中用的这个离散的时间的问题。实际上你用的是一套微分方程，而不是我刚才说的那种t到（t＋１）的这种差分的方程。但是原则上它们的思想就是一样的。也就是说它们是由H这个哈密顿量，决定了当前时刻的状态X，如何变成下一个时刻的状态X（t）'或者X（t＋１）。